☛ Déterminer des limites par croissances comparées

Énoncé

On considère la fonction \(f\)  définie sur \(]0\ ;+\infty[\)  par \(f(x)=x^2-3x\ln(x)\) .
Déterminer les limites de la fonction \(f\)  aux bornes de son ensemble de définition.

Solution

• \(\lim\limits_{\substack{x \to 0\\ x>0}}x^2=0\)  et \(\lim\limits_{\substack{x \to 0\\ x>0}}-3x\ln(x)=0\)  par croissances comparées.
  Par somme \(\lim\limits_{\substack{x \to 0\\ x>0}}f(x)=0\) .
  
• Pour tout réel \(x>0,\ f(x)=x^2\left(1-3 \times \dfrac{\ln(x)}{x}\right)\) .
  \(\lim\limits_{x \to +\infty}x^2=+\infty\) .
  Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0\)  donc \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1-3 \times \dfrac{\ln(x)}{x}\right)=1\) .
  Par produit, \(\lim\limits_{x \to +\infty}x^2\left(1-3 \times \dfrac{\ln(x)}{x}\right)=+\infty\)  donc \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty\) .